Question

已知向量与向量的夹角为，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinB是sinA和sinC的等比中项，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（I）由题意可得cos=====sin，
解得 sin=，∴=，B=．
（Ⅱ）由（I）可得sinB=，若sinB是sinA和sinC的等比中项，则有sin²B=sinA•sinC=．
再由正弦定理可得b²=ac=2c．
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=4+c²-4c×=c²-2c+4．
故有 2c=c²-2c+4，解得 c=2．
故△ABC的面积为 =．
分析：（I）由两个向量的夹角公式求出sin=，可得角B的值．
（Ⅱ）由（I）得sinB=，由sinB是sinA和sinC的等比中项得sin²B=sinA•sinC，再由正弦定理可得b²=ac
=2c，再由由余弦定理可得b²=c²-2c+4，由此可得2c=c²-2c+4，解得c的值，由 求得△ABC的面积．
点评：本题主要考查两个向量的夹角公式，正弦定理、余弦定理的应用，等比数列的定义和性质，属于中档题．