Question

（示范高中）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根据递推关系求出a₂的值从而求出b₁的值，然后根据S_n+1=4a_n+2，则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，将两式作差变形可证得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）即b_n=2b_n-1，证得结论；
（2）根据（1）先求出数列{b_n}的通项公式，然后等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，可得数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，求出数列{

an

2n

}的通项，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）由（1）知，当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，将a_n-1代入即可．

解答：（1）证明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，有a₁+a₂=4a₁+2故a₂=3a₁+2=5
所以 b₁=a₂-2a₁=3．
因为S_n+1=4a_n+2①
故当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1
所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又因为b_n=a_n+1-2a_n所以b_n=2b_n-1
所以{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．…（4分）
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

因此数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．
所以

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

故a_n=（3n-1）•2^n-2…（8分）
（3）解：由（1）知，当n≥2时，S_n=4a_n-1+2
故S_n=4a_n-1+2=4•（3n-4）•2^n-3+2=（3n-4）•2^n-1+2，n≥2
又S₁=a₁=1
故S_n=（3n-4）•2^n-1+2，n∈N^*…（12分）

点评：本题主要考查了等比数列判定，以及数列的求和，同时考查了构造新数列和转化能力，属于中档题．