题目内容

已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则an=
n2-n+33
n2-n+33
，
an
n
的最小值为
21
2
21
2
．
分析：先利用累加法求出an=33+n2-n，所以
an
n
=
33
n
+n-1，设f（n）=
33
n
+n-1，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到
an
n
的最小值．
解答：解：∵an+1-an=2n，∴当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2[1+2+…+（n-1）]+33=n2-n+33
且对n=1也适合，所以an=n2-n+33．
从而
an
n
=
33
n
+n-1
设f（n）=
33
n
+n-1，令f′（n）=
-33
n2
+1＞0，
则f（n）在(
33
，+∞)上是单调递增，在(0，
33
)上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为
a5
5
=
53
5
，
a6
6
=
63
6
=
21
2
，
所以
an
n
的最小值为
a6
6
=
21
2

故答案为：n2-n+33  
21
2
点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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