题目内容

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：
（1）f（1）=
 
；
（2）不等式f（log2x）＜0的解集是
 
．
分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）；
（2）利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，由（1）得到的f（1）=0即可求得不等式f（log2x）＜0的解集．
解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（log2x）＜0?f（log2x）＜f（1），
又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴0＜log2x＜1，
解得：x∈（1，2）．
故答案为：（1）0；（2）（1，2）．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
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精英家教网已知函数f（x）=x+
a
x
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
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3
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1
2
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=
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1
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2
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n-1
n
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1
6
，                          n=1
1
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，n≥2
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已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
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π
3
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