题目内容

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量 $数学公式$ =（sinx，2）， $数学公式$ =（2sinx， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos2x，1）， $数学公式$ =（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（ $数学公式$ • $数学公式$ ）＞f（ $数学公式$ • $数学公式$ ）的解集．

解：设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
设其图象上两点为（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因为 $\text{[math]}$ =1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵ $\text{[math]}$ =（sinx，2）•（2sinx， $\text{[math]}$ ）=2sin²x+1≥1， $\text{[math]}$ =（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①当m＞0时，f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+ $\text{[math]}$ ＜2x＜2kπ+ $\text{[math]}$ π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴ $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ π．
②当m＜0时，同理可得0≤x＜ $\text{[math]}$ ＜或 $\text{[math]}$ π＜x≤π．
综上：f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）的解集是：
当m＞0时，为{x| $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜ $\text{[math]}$ ＜，或 $\text{[math]}$ π＜x≤π}．
分析：由f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其对称轴，结合二次项系数的符号可得其单调性
通过计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而确定它们所在的单调区间，由此解得x的范围．
点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，同时考查了向量的数量积运算和三角恒等变换，解三角不等式．注意分类讨论的思想的应用．