Question

已知点P是圆O：上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．

⑴求动点Q的轨迹方程；

⑵已知点E(1，1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：⑴设P(，)，Q(x，y)，依题意，则点D的坐标为D(，0)，

∴，，  (2分)

又，故即 (3分)

∵P在圆O上，故有，

∴，即，

∴点Q的轨迹方程为． (5分)

⑵假设椭圆上存在不重合的两点M(，)，N(，)满足，

则E(1，1)是线段MN的中点，

且有即  (7分)

又M(，)，N(，)在椭圆 上，

∴两式相减，得，(9分)

∴，∵点E在椭园内，故故直线MN一定与椭园交于不同两点。故直线MN的方程为4x＋9y－13＝0．

∴椭圆上存在点M，N满足，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0。(12分)