题目内容
已知点M(3,1),直线l:ax-y+4=0及圆C:x2+y2-2x-4y+1=0
(1)求经过M点的圆C的切线方程;
(2)若直线l与圆C相切,求a的值;
(3)若直线l与圆C相交与A,B两点,且弦AB的长为2
,求a的值.
(1)求经过M点的圆C的切线方程;
(2)若直线l与圆C相切,求a的值;
(3)若直线l与圆C相交与A,B两点,且弦AB的长为2
3 |
分析:(1)圆方程化为标准方程,分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求经过M点的圆C的切线方程;
(2)利用圆心到直线的距离等于半径,即可求出a的值;
(3)利用弦心距与半径,半弦长的关系,即可求出a的值.
(2)利用圆心到直线的距离等于半径,即可求出a的值;
(3)利用弦心距与半径,半弦长的关系,即可求出a的值.
解答:解:(1)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=4
∴圆心(1,2),半径为2
斜率不存在时,经过M点的直线方程为x=3,满足题意;
设经过M点的圆C的切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0
∴d=
=2
∴k=
∴切线方程为3x-4y-5=0
综上,经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x-4y-5=0;
(2)∵直线l与圆C相切,∴
=2,解得a=0或a=
;
(3)圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为
,
∵直线l与圆C相交与A,B两点,且弦AB的长为2
,
∴(
)2+(
)2=4,解得a=-
.
∴圆心(1,2),半径为2
斜率不存在时,经过M点的直线方程为x=3,满足题意;
设经过M点的圆C的切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0
∴d=
|k-2-3k+1| | ||
|
∴k=
3 |
4 |
∴切线方程为3x-4y-5=0
综上,经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x-4y-5=0;
(2)∵直线l与圆C相切,∴
|a-2+4| | ||
|
4 |
3 |
(3)圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为
|a+2| | ||
|
∵直线l与圆C相交与A,B两点,且弦AB的长为2
3 |
∴(
|a+2| | ||
|
2
| ||
2 |
3 |
4 |
点评:本题考查直线与圆的位置关系,圆心到直线的距离公式的应用,考查计算能力,属于基础题.

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