Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a²-c²=（a-b）•b．
（1）若2cos2B-8cosB+5=0，判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，求

ab

c2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入计算求出cosC的值，由C为三角形内角求出C的度数，根据已知等式求出cosB的值，进而求出B的度数，即可做出判断；
（2）所求式子利用正弦定理化简，将sinC的值代入，利用积化和差公式变形为一个角的正弦函数，根据三角形ABC为锐角三角形，求出A的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．

解答：解：（1）由a²-c²=（a-b）•b，即a²+b²-c²=ab得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=60°，
由2cos2B-8cosB+5=0得（2cosB-3）•（2cosB-1）=0，
∴cosB=

1

2

（cosB=

3

2

＞1，舍去），
∴B=60°，
则△ABC为等边三角形；
（2）

ab

c2

=

sinAsinB

sin2C

=

4

3

[sinAsin（120°-A）]=

4

3

[

1

2

sin（2A-30°）+

1

4

]=

2

3

sin（2A-30°）+

1

3

，
∵△ABC为锐角三角形，
∴

0°＜A＜90° 0°＜120°-A＜90°

，
∴30°＜A＜90°，
∴30°＜2A-30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（2A-30°）≤1，即

2

3

＜

2

3

sin（2A-30°）+

1

3

≤1，
则

ab

c2

的取值范围为（

2

3

，1]．

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．