Question

已知aR,问复数z=（a²－2a+4）－（a²－2a+2）i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?

Answer 1

解:由a²－2a+4=（a－1）²+3≥3,－（a²－2a+2）=－（a－1）²－1≤－1,

得z的实部为正数,z的虚部为负数,

∴复数z的对应点在第四象限.

设z=x+yi（x、yR）,则

消去a²－2a,得y=－x+2（x≥3）.

∴复数z对应点的轨迹是一条射线,方程为y=－i+2（x≥3）.

点评:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关.所以本题的关键是判断（a²－2a+4）与－（a²－2a+2）的符号.

求复数z的对应点的轨迹问题,首先把z表示成z=x+yi（x、yR）的形式,然后寻求x、y之间的关系,但要注意参数限定的条件.

此例是复数与复平面上点的对应概念的练习,学生容易出现的问题是对实部a²－2a+4及虚部－（a²－2a+2）这两个二次三项式,不会判断正负,未意识到是确定函数值域的问题;对于求复数z的轨迹方程问题,关键是要设z=x+yi（x、yR）,转化为求动点（x,y）的轨迹方程.初学时,在这里思维容易混乱,此外在消参数a时,把a²－2a看成一个整体,也是值得借鉴的方法.