Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称中心；
（2）求函数f（x）在[-

π

3

，

π

2

]上的单减区间．

Answer 1

分析：由诱导公式及辅助角公式化简可得f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

 )cos(x-

π

4

)=sin（2x-

π

6

）
（1）由周期公式可得T=π，2x-

π

6

=kπ可求对称中心，
（2）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

结合x在[-

π

3

，

π

2

]上可求函数的单减区间

解答：解：（1）f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

 )cos(x-

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

2

)
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
由2x-

π

6

=kπ得x=

kπ

2

+

π

12

，故f（x）的最小正周期为π，对称中心(

kπ

2

+

π

12

，0)，k∈Z         （6分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+ 

5π

6

，
故f（x）在[-

π

3

，

π

2

]上的单减区间[-

π

3

，-

π

6

]，[

π

3

，

π

2

]                                   （12分）

点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式的综合应用，还考查了正弦函数的性质：周期性，单调性，对称中心的求解．属于知识的综合应用