Question

（2004•河西区一模）如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=AB，点C∈α，点D∈β，且AB=AC=BC=2

3

，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面α；
（Ⅱ）求证：平面AED⊥平面BCD；
（Ⅲ）求三棱锥C-AED的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明BD⊥平面α；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理证明平面AED⊥平面BCD；
（Ⅲ）利用三棱锥的体积公式计算体积即可．

解答：解：（I）证明：作CF⊥AB于F，∵α⊥β，∴CF⊥β，故CF⊥BD  （2分）
又∵BD⊥AC，AC∩CF=C，∴BD⊥平面α  （4分）
（II）在等边△ABC中，E为BC中点，∴AE⊥BC，（5分）
又由（I）知DB⊥α，故DB⊥AE．
∴AE⊥平面DBC，（7分）
∵AE?平面AED，∴平面AED⊥平面DBC  （8分）
（III）由E为BC中点，知Vc-AED=VB-AED=

1

2

VC-ADB（9分）
=

1

2

(

1

3

S△ADB?CF)（10分）

= 1 6 • 1 2 AB?BD?CF = 1 12 •2 3 •6• 3 2 •2 3

=3

3

   （12分）

点评：本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的判定，以及三棱锥的条件公式，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．