Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
(1)求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
(2)若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小．

Answer 1

解：建立空间直角坐标系D-xyz，如图， (1)设AD=a，DD1=b，则D(0，0，0)，A(a，0，0)， B(a，a，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，b)， ∵=(-a，-a，0)，=(-a，a，0)，=(0，0，b)， ∴，， ∴BD⊥AC，BD⊥CC1， ∵AC，CC1平面ACC1A1且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1。 (2)设BD与AC相交于O，则点O坐标为， ， ∵， ∴BD⊥C1O， 又BD⊥CO， ∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角， ∴∠C1OC=60°， ∵， ∴， ∴cos==， ∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos。