Question

【题目】已知二次函数对称轴方程为，在上的奇函数满足：当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）判断方程的根的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3个零点

【解析】

（1）根据对称轴方程求出a，通过函数的奇偶性求出g（x）的表达式即可；（2）在同一个坐标系中，作出函数与的图像，根据两个图象结合零点存在定理判断出根的个数．

由二次函数对称轴方程为，可得：,所以.

由时，，即：

设则，所以， 即：

又因为是奇函数，所以，所以

即：

由是奇函数可知，当时，

所以，

当时，与的图像可知：

两函数有且仅有一个交点；

当时，与的图像没有交点；

当时，在上单调递增，在单调递减，且函数单调递增，又，又

可知在上有一个根且1亦为它的一个根

综上所述方程的有3个根。