Question

已知圆心在第二象限，半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，过点D（-3，0）作直线l与圆C相交于A，B两点，且|DA|=|DB|．
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出圆C的圆心坐标，因为半径为2

2

，写出圆C的方程，然后因为圆与直线相切得到直线OC与y=x的斜率乘积为-1得到a与b的关系式，两者联立求解，由圆心C在第二象限得即可求出圆心坐标得到圆的方程；
（2）由|DA|=|DB|知点D为弦AB的中点，由垂径定理知CD⊥AB，所以斜率乘积为-1，利用CD的斜率得到AB的斜率，即可写出直线l的方程．

解答：解：（1）设圆C的圆心为C（a，b），则圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=8
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，∴点O在圆C上，且直线OC垂直于直线y=x
于是有

a2+b2=8 b a =-1

，
解得

a=2 b=-2

或

a=-2 b=2

，
由圆心C在第二象限得a=-2，b=2，所以圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）由|DA|=|DB|知点D为弦AB的中点，由垂径定理知CD⊥AB，
∵KCD=

2-0

-2+3

=2，
∴KAB=-

1

2

，
∵直线l过点D（-3，0），
∴直线l的方程为：y=-

1

2

(x+3)，
即：x+2y+3=0．

点评：考查学生灵活运用两直线垂直时斜率乘积为-1的条件解决问题的能力，会根据条件写出直线的方程及会根据条件写出圆的标准方程．