Question

如图,已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,设PA⊥平面ABCD,EC∥PA,且PA=2.

(1)当CE为多少时,PO⊥平面BED?

(2)在(1)的情形下,求二面角E-PB-A的大小.

Answer 1

解：(1)当CE=1时,PO⊥平面BED.

证明如下:∵四边形ABCD为正方形,

∴AC⊥BD.

∵PA⊥平面BD,∴AO为PO在平面BD上的射影,BD⊥PO.

过点E作EF∥AC,交PA于点F,连结OE,则PE²=EF²+PF²,∴PE=3.

PO=,

OE=.

在△POE中,PE²=PO²+OE²,

∴PO⊥OE.

∵BD∩EO=O,

∴PO⊥平面BED.

(2)如图,过E作EF⊥平面PAB于F,过F作FH⊥PB于H,

连结EH,则∠EHF为二面角FPBE的平面角.

易证四边形ABRP为正方形,且F为RB的中点,

∴FB=1,易得FH=.

在Rt△EFH中,tan∠EHF==2,从而∠EHF=arctan2.

因所求二面角为二面角FPBE的补角,

故所求二面角的大小为π-arctan2.