Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b 关于a的函数关系式，并求b的最大值；
（Ⅱ）若b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a-b）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设公共点（x₀，y₀），根据题意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b关于a的函数关系式，然后利用导数研究b关于a的函数的单调性，从而求出b的最大值；
（II）要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，①当h′（x）≤0时，x+

3a2

x

≤b，根据b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≤0而x∈（0，4）则a不存在，②当h′（x）≥0时x+

3a2

x

≥b，而b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≥2即3a²≥x（2-x）恒成立，根据x∈（0，4）可求出不等式右边的最大值，建立不等式解之即可求出a的取值范围．

解答：解：（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b（a）=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0?

a＞0 1-3lna＞0

?0＜a＜e

1

3

b'（a）＜0?

a＞0 1-3lna＜0

?a＞e

1

3

可见b（a）_max=b（e

1

3

）=

3

2

e

1

3

（II）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-bx，h′（x）=x+

3a2

x

-b
要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立．
①当h′（x）≤0时，x+

3a2

x

-b≤0∴x+

3a2

x

≤b
∵b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≤0∵x∈（0，4）∴a不存在
②当h′（x）≥0时，x+

3a2

x

-b≥0∴x+

3a2

x

≥b
∵b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≥2
∴3a²≥x（2-x）恒成立
∵x∈（0，4）∴3a²≥1解得：a≥

3

3

或a≤-

3

3

．
综上，所求a的取值范围为a≥

3

3

或a≤-

3

3

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．