Question

已知f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB的中点为G（x₀，0），问g（x）在x=x₀处是否取得极值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得f′（x）=

a

x

-2bx，由f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b，由曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2可求得a，b；由

f′(x)= 2 x -2x＞0 x＞0

即可求得f（x）的单调增区间；
（2）依题意，可求得g′（x）=

2

x

-2x-k，假设结论g（x）在x=x₀处取极值，由g′（x）=0成立⇒ln

x1

x2

=

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），利用导数可求u（t）在（0，1）上是增函数，从而导出矛盾，于是可得g（x）在x=x₀处不是极值点．

解答：解：（1）f′（x）=

a

x

-2bx…1分
f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b，
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1…2分
由

f′(x)= 2 x -2x＞0 x＞0

解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x²-kx（k∈R），
g′（x）=

2

x

-2x-k…5分
假设结论g（x）在x=x₀处取极值，则g′（x）=0成立，则有

2lnx1-x12-kx1=0    (1) 2lnx2-x22-kx2=0   (2) x1+x2=2x0               (3) 2 x0 -2x0-k=0            (4)

（1）-（2），得2ln

x1

x2

-（x12-x22）-k（x₁-x₂）=0，
∴k=

2ln x1 x2

x1-x2

-2x₀．
由（4）得k=

2

x0

-2x₀，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

（5）…10
令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
∵u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-

2t-2

t+1

＜0，
∴（5）式不成立，与假设矛盾，…11分
故g（x）在x=x₀处不是极值点…12分

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，突出构造函数思想与等价转化思想的考查，考查抽象思维与创新思维能力．属于难题．