Question

9．已知任何一个三次函数f（x）=ax²+bx²+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x₀，f（x₀）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0，若函数f（x）=x³-3x²，则$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4031}{2016}}）$=-8062．

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2015个-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答 解：依题意，f'（x）=3x²-6x，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=-2，
∴f（x）=x³-3x²的对称中心是（1，-2）．
即f（x）+f（2-x）=-4．
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{4031}{2016}$）=-4，…f（$\frac{2015}{2016}$）+f（$\frac{2017}{2016}$）=-4，f（$\frac{2016}{2016}$）=-2，
∴$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4031}{2016}}）$=-4×2015+（-2）=-8062
故答案为：-8062．

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．