Question

已知函数f（x）=2msin²x-2

3

msinx•cosx+n（m＞0）的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数g（x）=msinx+

3

2

ncosx（x∈R）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式前两项利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（x）的最大值与最小值，根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）将（1）中确定的m和n值代入g（x）中，确定出解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=2m•

1-cos2x

2

-

3

msin2x+n=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2sin（2x+

π

6

）+m+n，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴当m＞0时，f（x）_max=-2m•（-

1

2

）+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5，
解得：m=3，n=-2；
（2）由m=3，n=-2，得到g（x）=3sinx-3cosx=3

2

sin（x-

π

4

）（x∈R），
令2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

（k∈Z），
则函数g（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．