Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

2an，     n为奇数 an+2，  n为偶数

，且a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3049，则正整数k的值为（　　）

A．11

B．8

C．10

D．9

Answer 1

分析：由题意可得：a_2k+1=a_2k+2，a_2k=a_2k-1+1=2a_2k-1，（k∈N^*）．于是a_2k+1=2a_2k-1+2，化为a_2k+1+2=2（a_2k-1+2），
可得数列{a_2k-1+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答：解：由题意可得：a_2k+1=a_2k+2，a_2k=a_2k-1+1=2a_2k-1，（k∈N^*）
∴a_2k+1=2a_2k-1+2，
化为a_2k+1+2=2（a_2k-1+2），
∴数列{a_2k-1+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a_2k-1+2=3×2^k-1，化为a2k-1=3×2k-1-2．
∴3049=a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3×（1+2+2²+…+2^k-1）-2k=

3×(2k-1)

2-1

-2k=3×2^k-3-2k，
化为3×2^k-1=1526+k，
∵2^10-1=512满足上式，故k=10．
故选C．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公及其2ⁿ的幂值是解题的关键．