Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=9，a₅+a₇=30，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）已知数列{b_n}的第n项为b_n，若bn，

1

2

bn+1，an(n∈N*)成等差数列，且b₁=3，设数列{

1

bn

}的前n项和T_n．求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，可求得d及a₁，从而可求a_n及S_n；
（2）依题意，可求得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n（n+2），利用裂项法可得

1

bn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），从而可得数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），因为a₅+a₇=30，
又∵a₅+a₇=2a₆，
∴a₆=15；
∴d=

a6-a3

6-3

=2，又a₃=9，
∴a_n=a₃+（n-3）d=9+（n-3）×2=2n+3，
∴a₁=5，
∴S_n=

n(a1+an)

2

=

n(5+2n+3)

2

=n²+4n．
（2）由（1）知b₁=3，
∵b_n，

1

2

b_n+1，a_n成等差数列，
∴a_n+b_n=2×

1

2

b_n+1（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=a_n，
∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
故b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（a_n-1+a_n-2+…+a₁）+b₁
=

(n-1)[2(n-1)+3+3]

2

+3
=（n-1）（n+3）+3
=n²+2n
=n（n+2）（n≥2，n∈N^*）．
又因为b₁=3满足上式，
∴b_n=n（n+2）（n∈N^*）．
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
故T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，（2）中求得b_n=n（n+2）是关键，考查裂项法求和，属于难题．