题目内容

求函数y=
2x-1
+
5-2x
的值域．
分析：y＞0，用基本不等式求出y2的值域，进而得到函数y的值域．
解答：解：由题意知，y＞0，且y2=2x-1+5-2x+2
(2x-1)(5-2x)
=4+2
(2x-1)(5-2x)
，
可得4≤y2，且y2≤4+（2x-1+5-2x）=8．当且仅当2x-1=5-2x，即x=
3
2
时，等号成立，
∴2≤y≤2
2
，
函数值域为（2，2
2
]．
点评：本题考查求函数值域的方法，体现转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
求函数y=
2x-1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
求函数y=2x-
1-2x
的值域
（-∞，1]
（-∞，1]
．
求函数y=
2x-1
在区间[2，5]上的最大值和最小值．
已知问题“设正数x，y满足
1
x
+
2
y
=1，求x+y的最值”有如下解法；
设
1
x
=cos2α，
2
y
=sin2α，α∈(0，
π
2
)，
则x=sec2α=1+tan2α，y=2csc2α=2（1+cot2α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+
2
tan2α
≥3+2
2
，等号成立当且仅当tan2α=
2
tan2α
，即tan2α=
2
，此时x=1+
2
，y=2+
2
．
（1）参考上述解法，求函数y=
1-x
+2
x
的最大值．
（2）求函数y=2
x+1
-
x
(x≥0)的最小值．

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