Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

5

，且过点P（4，

12

5

），A为上顶点，F为右焦点．点Q（0，t）是线段OA（除端点外）上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N．
（1）求椭圆方程；
（2）若圆N与x轴相切，求圆N的方程；
（3）设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由e=

3

5

，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k＞0，从而可得椭圆方程，把点P坐标代入椭圆方程即可求得k值，进而得椭圆方程；
（2）由点斜式可得直线AP的方程为y=-

2

5

x+4，通过解方程可得M，N坐标，圆N与x轴相切可得半径为t，从而可求得t值，进而可求得圆N方程；
（3）点R到直线PF的最大距离为d等于圆心N到直线PF的距离加上半径，根据d的表达式分类讨论即可求得其范围；

解答：解：（1）∵e=

3

5

，不妨设c=3k，a=5k，则b=4k，其中k＞0，故椭圆方程为

x2

25k2

+

y2

16k2

=1(a＞b＞0)，
∵P（4，

12

5

）在椭圆上，∴

42

25k2

+

( 12 5 )2

16k2

=1，解得k=1，
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）K_AP=

12 5 -4

4

=-

2

5

，则直线AP的方程为y=-

2

5

x+4，
令y=t（0＜t＜4），则x=

5

2

（4-t），∴M（

5(4-t)

2

，t），∵Q（0，t）∴N（

5(4-t)

4

，t），
∵圆N与x轴相切，∴

5(4-t)

4

=t，由题意M为第一象限的点，则由

5(4-t)

4

=t，解得t=

20

9

，
∴N（

20

9

，

20

9

），
∴圆N的方程为(x-

20

9

)2+(y-

20

9

)2=

400

81

；
（3）F（3，0），k_PF=

12

5

，∴直线PF的方程为y=

12

5

（x-3），即12x-5y-36=0，
∴点N到直线PF的距离为|

15(4-t)-5t-36

13

|=|

24-20t

13

|=

4

13

|6-5t|，
∴d=

4

13

|6-5t|+

5

4

（4-t），∵0＜t＜4，
∴当0＜t≤

6

5

时，d=

4

13

(6-5t)+

5

4

(4-t)=

356-145t

52

，此时

7

2

≤d＜

89

13

，
当

6

5

＜t＜4时，d=

4

13

（5t-6）+

5

4

（4-t）=

164+15t

52

，此时

7

2

＜d＜

56

13

，
∴综上，d的取值范围为[

7

2

，

89

13

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，熟练求解直线方程、熟记点到直线的距离公式等是解决相关问题的基础．