题目内容
已知函数f(x)=
．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若x∈(-
，
)，且f(x)=
，求cos2x的值．
（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））(-
＜x0＜
)处的切线平行直线y=
x，求x0的值．
| sin2x+cos2x+1 |
| 2cosx |
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若x∈(-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 5 |
（3）若曲线f（x）在点P（x0，f（x0））(-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：（1）根据分式有意义的条件可得，cosx≠0，求解即可得函数的定义域；利用二倍角公式及辅助角对函数化简可得f（x）=
sin(x+
)，结合正弦函数性质可求函数的值域，
（2）由于cos2x=sin（2x+
）=sin[2（x+
）]，故需要求sin（x+
），cos（x+
），由f(x)=
代入可求sin（x+
），结合已知条件中 x的范围可求cos（x+
），然后代入可求，
（3）对函数求导可得，f/（x）=cosx-sinx代入已知可得，f/(x0)=cosx0-sinx0=
cos(x0+
)=
从而可得cos(x0+
)=
结合-
＜x0+
＜
可求．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由于cos2x=sin（2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（3）对函数求导可得，f/（x）=cosx-sinx代入已知可得，f/(x0)=cosx0-sinx0=
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
从而可得cos(x0+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
解答：解（1）f(x)=
=sinx+cosx=
sin(x+
)（2分）
由2cosx≠0，得x≠kπ+
(k∈Z)，
∴x+
≠kπ+
(k∈Z)（4分）
则f(x)的值域为{y|-
≤y≤
}（6分）
（2）∵f(x)=
，∴
sin(x+
)=
．
∴sin(x+
)=
（7分）
∵-
＜x＜
，∴0＜x+
＜
∴cos(x+
)=
（8分）
∴cos2x=sin(2x+
)=2sin（x+
）cos（x+
）=
（10分）
（3）f/（x）=cosx-sinx
由题意得f/(x0)=cosx0-sinx0=
cos(x0+
)=
（12分）
∴cos(x0+
)=
又∵-
＜x0+
＜
∴x0+
=
，-
∴x0=-
，-
（14分）
| 2sinxcosx+2cos2x-1+1 |
| 2cosx |
| 2 |
| π |
| 4 |
由2cosx≠0，得x≠kπ+
| π |
| 2 |
∴x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
则f(x)的值域为{y|-
| 2 |
| 2 |
（2）∵f(x)=
3
| ||
| 5 |
| 2 |
| π |
| 4 |
3
| ||
| 5 |
∴sin(x+
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
∵-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴cos(x+
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
∴cos2x=sin(2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 24 |
| 25 |
（3）f/（x）=cosx-sinx
由题意得f/(x0)=cosx0-sinx0=
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴cos(x0+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴x0+
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题主要考查了正弦函数的定义域及值域的求解，辅助角公式的应用，导数的基本运算，及由三角函数值求解角等知识的综合运用．
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