Question

定义在（-∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，如果f（x）=lg（10^x+1），x∈（-∞，+∞），求g（x）与h（x）．

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性构造出关于奇函数g（x）和 偶函数h（x）的方程或方程组，进行求解即可得出g（x）与h（x）．

解答：解：由已知

g(x)+h(x)=lg(10x+1) g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1)

即

g(x)+h(x)=lg(10x+1) -g(x)+h(x)=lg(10-x+1)

解得g（x）=

1

2

[lg（10^x+1）-lg（10^-x+1）]，h（x）=

1

2

[lg（10^x+1）+lg（10^-x+1）]．
由上g（x）与h（x）的表达式分别为
g（x）=

1

2

[lg（10^x+1）-lg（10^-x+1）]，h（x）=

1

2

[lg（10^x+1）+lg（10^-x+1）]．

点评：考查利用奇函数与偶函数的性质灵活变形．