Question

已知函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，再求在x=1处的导数得到切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程即可；
（Ⅱ）欲求函数f（x）的单调区间，只需令f'（x）＞0求出增区间，令f'（x）＜0求出减区间即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意有，f′(x)=a+

1

x-2

．…（3分）
因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a-1，又f（1）=a，
所以，过（1，f（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）．…．（4分）
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1，依题意，

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x-2

．
因为a＞0，所以2-

1

a

＜2，又由已知x＜2．…．（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜2-

1

a

，令f'（x）＜0，解得2-

1

a

＜x＜2．…（11分）
所以，f（x）的单调增区间是(-∞，2-

1

a

)，f（x）的单调减区间是(2-

1

a

，2)．…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和直线与圆的位置关系，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．