题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ $数学公式$ ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $数学公式$ ，且图象上一个最低点为 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x $数学公式$ 时，f（x）-m≥1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x₀）=1，x₀∈[-π，π]，求x₀的值．

解：（1）设周期为T，则由已知可知T=2× $\text{[math]}$ =π，
又ω＞0，可知ω= $\text{[math]}$ =2，…1分
又易知A=2，故f（x）=2sin（2x+φ），…2分
∵f（ $\text{[math]}$ ）=-2，
∴sin（ $\text{[math]}$ +φ）=-1，
∴ $\text{[math]}$ +φ=2kπ+ $\text{[math]}$ π（k∈Z），又0＜φ＜ $\text{[math]}$ ，
解得φ= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），…4分
（2）当 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ …5分
∴- $\text{[math]}$ ≤f（x）≤1…6分
又f（x）≥1+m恒成立，
∴1+m≤- $\text{[math]}$ ，解得m≤- $\text{[math]}$ …8分
（3）f（x₀）=1，则sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ …9分
∴2x₀+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ 或2x₀+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）…10分，
∴x₀=kπ或x₀=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
又x₀∈[-π，π]，
所以x₀=-π，- $\text{[math]}$ ，0， $\text{[math]}$ ，π…12分
分析：（1）依题意可求得A及其周期T=π，利用周期公式即可求得ω，再利用f（ $\text{[math]}$ ）=-2即可求得φ，从而可求f（x）的解析式；
（2）由 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的单调性质可求得- $\text{[math]}$ ≤f（x）≤1，又f（x）≥1+m恒成立，从而可求得实数m的取值范围；
（3）f（x₀）=1，利用正弦函数的性质即可求得x₀的值．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数恒成立问题，考查正弦函数的性质，考查属于难题．