Question

已知数列具有性质：①为正数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若成等差数列，求的值；

(3)设，数列的前项和为，求证：

Answer 1

由，可得，，…，，，，，…，

 即的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　（2分）

故数列的通项公式为．　     （4分）

（2）若时，，，

由成等差数列，可知即，解得，故；(舍去)

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)（ 3分 ）   

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；

若时，，，

由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)

∴的值为2．                              　 （6分）

（3）由（），可得，   

，，

若，则是奇数，从而，

可得当时，成立．             （3分）

又，，…

故当时，；当时，．            （5分）

故对于给定的，的最大值为

，

故．