Question

(20)某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC.塔高BC=80(米),山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为α,tanα=.试问,此人距山崖的水平距离多远时,观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?

Answer 1

（20）本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力。

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）。

直线l的方程为y=（x-200）tanα，即

y=.

设此人距山崖的水平距离为x，则P（x，）（x>200）。由经过两点的直线的斜率公式

k_PC=

k_PB=

由直线PC到直线PB的角的公式得

tanBPC=

      =

      =（x>200）.

要使tanBPC达到最大，只须x+-288达到最小。由均值不等式

x+-288≥2-288，

当且仅当x=时上式取得等号。故当x=320时tanBPC最大。

由此实际问题知，0<∠BPC<，所以tanBPC最大时，∠BPC最大。故当此人距山崖水平距离为320米时，观看铁塔的视角∠BPC最大。