题目内容
| 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4， （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线l过P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。 |
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解：设椭圆方程为
，
（Ⅰ）由已知得
，
∴所求椭圆方程为
；
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2，
，
由
，消去y得关于x的方程：
，
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴
，解得
，
又由韦达定理得
，
∴
，
原点O到直线l的距离
，
，
对
两边平方整理得：
，（*）
∵S≠0，
整理得：
，
又S＞0，
∴
，从而
的最大值为
，
此时代入方程（*）得
，
∴
，
所以，所求直线方程为：
。
，（Ⅰ）由已知得
，∴所求椭圆方程为
；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2，
，由
，消去y得关于x的方程：，由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴
，解得，又由韦达定理得
，∴
，原点O到直线l的距离
，，对
两边平方整理得：，（*） ∵S≠0，
整理得：，又S＞0，
∴
，从而的最大值为，此时代入方程（*）得
，∴
，所以，所求直线方程为：
。
练习册系列答案
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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．