Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁、F₂，离心率e=，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线与椭圆交于M，N点，且||=求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率e=，焦距为2，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及=，即可求直线l的方程．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=，焦距为2，
∴，2c=2
∴c=1，a=
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），
若l斜率不存在，方程为x=-1，代入椭圆方程可得M（-1，），N（-1，-）
此时，=4与已知矛盾，
l的斜率存在，设方程为y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=
∴MN中点E为（，）
由题意，F₂（1，0），MN中点E，∴EF₂是△MNF₂的中线
∴=
∴=
∴=
∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1或（舍去）
∴k=±1
∴所求直线方程为y=x+1或y=-x-1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．