Question

（2013•贵阳二模）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=

6

3

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x²+y²=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：

OA

•

OB

为定值．

Answer 1

分析：（I）利用离心率的计算公式、a、b、c的关系及点满足椭圆的方程可得

e= c a = 6 3 a2=b2+c2 1 a2 + 1 b2 =1

，解出即可；
（II）分切线的斜率存在与不存在讨论，把直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及利用数量积即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

e= c a = 6 3 a2=b2+c2 1 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=4 b2= 4 3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

，
∴1+k²=m²．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立

y=kx+m x2 4 + 3y2 4 =1

，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
设直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-4

1+3k2

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•

3m2-4

1+3k2

+km(-

6km

1+3k2

)+m2
=

4m2-4-4k2

1+3k2

=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得

OA

•

OB

=0．
综合上述可得，

OA

•

OB

为定值0．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法推理能力和计算能力．