Question

若定义在R上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=

1

4

；
③当x＞0时，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求证：f（x）为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）a=b=0可求f（0），再令a=b=4可求得f（8）；
（2）利用单调性的定义，设x₁＜x₂，结合已知可证得f（x₂）＞f（x₁），问题得证；
（3）可求得f（8）=

1

2

，将原不等式转化为f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x）≤f（8），再利用f（x）为R上的增函数，即可．

解答：解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=4得f（8）=

1

2

；
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为R上的增函数；
（3）由已知得f（4）+f（4）=

1

4

+

1

4

=

1

2

=f（4+4）=f（8），
∵对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，f（0）=0，
∴令a=x，b=-x，则f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x），
∵f（x-3）-f（3x-5）≤f（8），
∴f（2-2x）≤f（8），
又f（x）为R上的增函数，
∴2-2x≤8，解得x≥-3．
故原不等式的解集为：{x|x≥-3}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性的应用，突出赋值法与转化思想的应用，属于中档题．