Question

已知圆C：x²+y²-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点，定点R（1，1），若PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组消y并整理可得关于x的二次方程，由韦达定理可得x₁+x₂和x₁x₂的值，再由点P，Q在直线x+2y-6=0上，可得y₁y₂，y₁+y₂，而由PR⊥QR可得

PR

•

QR

=0，代入数据可得关于m的方程，解之可得．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组可得

x2+y2-x-8y+m=0 x+2y-6=0

，
消y并整理可得x2+

4

5

m-12=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=0，x₁x₂=

4

5

m-12，
又点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直线x+2y-6=0上，
∴y1=3-

x1

2

，y2=3-

x2

2

，即y1y2=9+

x1x2

4

，y1+y2=6
又∵R（1，1），∴

PR

=（1-x₁，1-y₁），

QR

=（1-x₂，1-y₂）
由PR⊥QR可得

PR

•

QR

=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
代入数据可得

1

4

(

4

5

m-12)+1=0，解得m=10．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量的数量积的应用，属中档题．