Question

已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为

9

4

．

Answer 1

分析：先在区间[-1，-3]，研究二次函数f（x）=x²+3x+2，得到它的最小值为f（-

3

2

）=-

1

4

，最大值为f（-3）=2，然后根据f（x）是奇函数，得到当x∈[1，3]时，-2≤f(x)≤

1

4

，从而区间[-2，

1

4

]⊆[n，m]，得到m-n的最小值为

9

4

．

解答：解：∵当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，，
∴当x∈[-1，-3]时，在[-3，-

3

2

]上，函数为减函数，在[-

3

2

，-1]上为增函数
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值为f（-

3

2

）=(-

3

2

) 2 -

3

2

•3+2=-

1

4

最大值为f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴当x∈[-1，-3]时，-

1

4

≤f(x)≤2
又∵y=f（x）是奇函数，
∴当1≤x≤3，时-f（x）=f（-x）∈[-

1

4

，2]
即-2≤f(x)≤

1

4

∵当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立
∴区间[-2，

1

4

]⊆[n，m]⇒m-n≥

1

4

-(-2)=

9

4

故答案为：

9

4

点评：本题以基本初等函数为载体，考查了函数的奇偶性、二次函数在闭区间上的最值和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．