Question

函数f（x）=log₂（3-a^x）在（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 ________．

Answer 1

1＜a＜3
分析：将原函数f（x）=log₂（3-a^x）看成是函数：y=log₂μ，μ=3-a^x的复合函数，利用对数函数与指数函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．
解答：设μ=3-a^x．
则原函数f（x）=log₂（3-a^x）是函数：y=log₂μ，μ=3-a^x的复合函数，
因y=log₂μ在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，得
函数f（x）=log₂（3-a^x）的单调减区间是函数μ=3-a^x的单调减区间，
∴，
∴1＜a＜3．
故答案为：1＜a＜3．
点评：本题考查复合函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性，是基础题．复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数 （2）一个是减一个是增，那就是减函数 （3）两个都是减，那就是增函数．