Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，若E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁E⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-E的大小；
（Ⅲ）求四面体A₁-BDE的体积．

Answer 1

分析：（I）连接AC，设AC∩DB=O，连接A₁O，OE，由正方体的几何特征可得AC为A₁E在底面ABCD内的射影，进而由三垂线定理可得A₁E⊥BD；
（Ⅱ）由正方体的几何特征可得三角形A₁BD为等边三角形，则BD⊥A₁O，又BD⊥A₁E，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面A₁OE，则∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁OE，即可求出二面角A₁-BD-E的大小；
（Ⅲ）由平面A₁BD垂直于平面BDE，且A₁O⊥BD，由面面垂直的性质，可得A₁O⊥平面BDE，即四面体A₁-BDE是以三角形BDE为底面，以A₁O为高的棱锥，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC，
设AC∩DB=O，连接A₁O，OE，
∵点E在棱CC₁上，
∴AC为A₁E在底面ABCD内的射影．
由AC⊥BD，
根据三垂线定理，
∴A₁E⊥BD．                                         …（3分）
（Ⅱ）在等边三角形A₁BD中，BD⊥A₁O，又BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE．
于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角．              …（7分）
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，E为棱CC₁的中点，
由平面几何知识，得EO=

3

a

，A1O= 6 a，A1E=3a

，
满足A₁E²=A₁O²+EO²，
∴∠A₁OE=90°．                                    …（9分）
（Ⅲ）由平面A₁BD垂直于平面BDE，且A₁O⊥BD，
∴A₁O⊥平面BDE．…（12分）
VB-A1DE=VA1-BDE=

1

3

S△BDE•A1O=

1

3

•

1

2

•2

2

a•

3

a•

6

a=2a3．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，棱锥的体积，空间中直线与直线之间的位置，其中（I）的关键是得到AC为A₁E在底面ABCD内的射影，为三垂线定理的使用创造条件；（II）的关键是确定出∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角，（III）的关键是确定出四面体A₁-BDE是以三角形BDE为底面，以A₁O为高的棱锥．