Question

如图，在平面直角坐标系中，方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上.

(1)求证：F＜0；

(2)若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且＝0，求D²＋E²－4F的值；

(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.

Answer 1

(1)方法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0的左边所得的值小于0，于是有F＜0，即证.

方法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0)，C(c,0)，则有ac＜0.对于圆的方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，当y＝0时，可得x²＋Dx＋F＝0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x_Ax_C＝ac＝F.因为ac＜0，故F＜0.

(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD的面积

S＝，因为S＝8，

|AC|＝2，可得|BD|＝8.

又因为＝0，所以∠BAD为直角，又因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|＝2r＝8⇒r＝4.

对于方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的圆，

可知＋－F＝r²，所以D²＋E²－4F＝4r²＝64.

(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d).

则可得点G的坐标为(，)，即＝(，).

又＝(－a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证＝0即可.

而＝，且对于圆M的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

当y＝0时可得x²＋Dx＋F＝0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，

于是有x_Ax_C＝ac＝F.

同理，当x＝0时，可得y²＋Ey＋F＝0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有y_By_D＝bd＝F.

所以，＝＝0，即AB⊥OG.

故O、G、H三点必定共线.