Question

已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

an-1

2n

(n∈N*)，求数列{b}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是公差为2的等差数列，a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项，知(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，解得a₁=3，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

an-1

2n

=

2n+1-1

2n

=

n

2n-1

，知Tn=

1

20

+

2

21

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，由此利用错位相减法能够求出数列{b}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，
∵且a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，
解得a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1），
∴a_n=2n+1．
（2）bn=

an-1

2n

=

2n+1-1

2n

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，①
∴

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴Tn=4-

2n+4

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．