Question

已知函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

分析：（1）对数的真数部分大于零，即解不等式

1-x

1+x

＞0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此求得函数的定义域．
（2）函数f（x）为奇函数，根据函数的定义域为（-1，1），再由f（-x）=-f（x），可得结论．
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂

1-x

1+x

＞1=log₂2，从而有

-1＜x＜1 1-x 1+x ＞2

，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）由题意可得

1-x

1+x

＞0，即

x-1

1+x

＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，…..2分
解得-1＜x＜1，…..4分
函数的定义域为（-1，1）．  …..5分
（2）函数f（x）为奇函数．…..6分
证明：由第一问得，函数的定义域为（-1，1），…..7分
∵f（-x）=log2

1+x

1-x

=log₂ (

1-x

1+x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），…..9分
所以函数f（x）为奇函数．…..10分
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂

1-x

1+x

＞1=log₂2，…..11分
从而有

-1＜x＜1 1-x 1+x ＞2

，…..12分 
所以-1＜x＜-

1

3

，…..14分
不等式f（x）＞1的解集为（-1，-

1

3

 ）．…..15分．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的应用，分式不等式的解法，属于中档题．