题目内容
已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 4 |
分析：首先分析题目已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+
）（b+
）≥
．可以考虑用基本不等式求得ab≤
，直接展开左侧，利用基本上的性质，求证(a+
)(b+
)-
≥0即可．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 4 |
解答：解：因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2
，
∴0＜ab≤
，
又(a+
)(b+
)=
?
=
=
≥
（取等号时a=b=
）
∴(a+
)(b+
)≥
即得(a+
)(b+
)≥
．
∴根据基本不等式a+b≥2
| ab |
∴0＜ab≤
| 1 |
| 4 |
又(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a2+1 |
| a |
| b2+1 |
| b |
| a2b2-2ab+2 |
| ab |
| (1-ab)2+1 |
| ab |
| 25 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 4 |
即得(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 4 |
点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到基本不等式的应用和比较法证明不等式的思想，涵盖知识点少，有一定的计算量属于中档题目．
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