题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），点A、B坐标为A（a，0），B（0，b），若△ABC面积为
3
2
，∠BF2A=120°．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N，且以MN为直径的圆恰好过原点，求实数k的取值；
（3）动点P使得
F1P
•
F1F2
、
PF1
•
PF2
、
F2F
1•
F2P
成公差小于零的等差数列，记θ为向量
PF1
与
PF2
的夹角，求θ的取值范围．
分析：（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=
3
c，a=2c，由S△ABF2=
1
2
((a-c)b=
3
2
，可计算得a=2，b=
3
，c=1，从而可求椭圆标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，x1•x2+y1•y2=0，代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．
（3）设P的坐标，由
F1P
•
F1F2
、
PF1
•
PF2
、
F2F
1•
F2P
成公差小于零的等差数列得：x2+y2=33≥x2＞0
从而
1
2
＜cosθ≤1，所以可求θ的取值范围．．
解答：解：（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=
3
c，a=2c
由S△ABF2=
1
2
((a-c)b=
3
2
，计算得a=2，b=
3
，c=1，所以椭圆标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）设交点M、N坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）
将直线y=kx+2代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1整理得方程，3+4k2）x2+16kx+4=0；
x1+x2=-
16k
3+4k2
x1•x2=
4
3+4k2

由△＞0得k＜-
1
2
或k＞
1
2

由MN为直径的圆过原点得x1•x2+y1•y2=0，所以x1•x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，计算并检验得k=±
2
3
3
即为所求．
（3）设P（x，y），由
F1P
•
F1F2
、
PF1
•
PF2
、
F2F
1•
F2P
成公差小于零的等差数列得：x2+y2=33≥x2＞0cosα=
PF1
•
PF2
|PF1|
×|
PF2
|
=
1
4-x2

所以
1
2
＜cosθ≤1，所以
π
3
＞θ≥0．
点评：本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．
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相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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