Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．
（Ⅰ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
当λ=1时，则F为AB的中点，设PA=AD=1，则AB=PD=，则
A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），F（）．
∴，，=（0，0，1）．
∴，，
∴，．
∵AC∩AP=A
∴DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：设PA=AD=1，则AB=PD=，则A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），．
∵，
∴F（，0，0），E（0，）．
∴=，，∴．
依题意，有，
∵λ＞0，∴，∴λ=．
∴存在实数λ=，使异面直线EF与CD所成的角为60°．
分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明，，即可证得DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）设PA=AD=1，则AB=PD=，确定=，，利用向量的夹角公式，及异面直线EF与CD所成的角为60°，建立方程即可得到结论．
点评：本题考查线面垂直，考查线线角，考查利用空间向量解决立体几何问题，关键是建立坐标系，用坐标表示点与向量．