Question

若不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A．[e^e，+∞）
B．[，+∞）
C．[e^2e，+∞）
D．[，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由题意可得a＞1，令F（x）=2x-log_ax，利用导数求得F（x）的最小值为 F（），由F（）≥0，利用对数的运算性质求得正实数a的取值范围．
解答：解：由于不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，∴a＞1．
令F（x）=2x-log_ax，则 F′（x）=2-，令 F′（x）=0 求得x=．
在区间（0，）上，F′（x）＜0，F（x）是减函数．
在区间（，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）是增函数．
故F（x）的最小值为 F（）=-≥0，即 ≥-，即≥-，即 ln（2lna）≥-1．
∴2lna≥，即 lna²≥ln，∴a²≥，a≥=．
故正实数a的取值范围是[，+∞），
故选 B．
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求函数的最值，对数的运算性质，属于中档题．