Question

已知f(x)=loga

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域
（2）若m，n∈（-1，1），求证f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)；
（3）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=loga

1-x

1+x

，知

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1，由此能求出函数f（x）的定义域．
（2）由m，n∈（-1，1），知f(m)+f(n)=loga

1-m

1+m

+loga

1-n

1+n

=loga(

1-m

1+m

•

1-n

1+n

)，由此能够证明f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)．
（3）由f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=loga1=0，能够证明f（x）在其定义域上的奇偶性．

解答：（1）解：∵f(x)=loga

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域是{x|-1＜x＜1}．…（4分）
（2）证明：∵m，n∈（-1，1），
∴f(m)+f(n)=loga

1-m

1+m

+loga

1-n

1+n

=loga(

1-m

1+m

•

1-n

1+n

)
=loga

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=loga

1+mn-m-n 1+mn

1+mn+m+n 1+mn

=loga

1- m+n 1+mn

1+ m+n 1+mn

=f(

m+n

1+mn

)．
故f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)．…（8分）
（3）解：∵f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=loga1=0
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）在其定义域（-1，1）上为奇函数．…（12分）

点评：本题考查对数函数的定义域的求法、求证f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的性质的灵活运用．