Question

已知圆心为点C（2，1）的圆与直线3x+4y-35=0相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）对于圆C上的任一点P，是否存在定点A（不同于原点O）使得

|PA|

|PO|

恒为常数？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圆心为点C（2，1）的圆与直线3x+4y-35=0相切，根据点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）设P（x，y），定点A（m，n），（m，n不同时为0），根据

|PA|

|PO|

=λ（λ为常数），可得

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ，进而整理可得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0，从而

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

，由此可得点A的坐标．

解答：解：（1）因为圆心为点C（2，1）的圆与直线3x+4y-35=0相切，
所以点C到直线3x+4y-35=0的距离为d=

|6+4-35|

32+42

=5=r，…（2分）
所以求圆C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=25．…（4分）
（2）设P（x，y），且（x-2）²+（y-1）²=25，即x²+y²=20+4x+2y
设定点A（m，n），（m，n不同时为0），

|PA|

|PO|

=λ（λ为常数）．
则

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ…（6分）
两边平方，整理得（1-λ²）（x²+y²）-2mx-2ny+m²+n²=0
代入x²+y²=20+4x+2y后得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0恒成立
所以，

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

…（9分）
解得

m=-8 n=-4 λ= 5

即A（-8，-4）．…（10分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，有难度．