题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）指出函数f（x）在区间（ $数学公式$ ，+∞）上的单调性，并加以证明．

解：（1）根据题意，得 $\text{[math]}$ ，解之得x $\text{[math]}$ 或x $\text{[math]}$
∴函数的定义域是（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）；
（2）∵f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ^-1=- $\text{[math]}$ ，
可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（3）设g（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=-4• $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，
而2x₁+1＞0且2x₂+1＞0，可得-4• $\text{[math]}$ ＜0，g（x₁）＜g（x₂），
∴函数g（x）是定义在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的增函数
又∵ $\text{[math]}$ ∈（0，1），∴f（x）= $\text{[math]}$ 是区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的减函数
综上所述，函数f（x）在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是单调减函数．
分析：（1）根据对数的真数必须大于0，解关于x的分式不等式即可得到函数的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，验证可得对定义域内任意的x，都有f（-x）=-f（x），得函数f（x）是奇函数；
（3）设g（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，利用单调性的定义证出g（x）是定义在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的增函数，再由 $\text{[math]}$ 是小于1的正数，可得f（x）= $\text{[math]}$ 是区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的减函数，得到本题答案．
点评：本题给出含有分式的对数型函数，求函数的定义域奇偶性和单调性．着重考查了分式函数、对数函数的简单性质及其证明等知识，属于中档题．