题目内容

设数列{an}满足a2=
1
8
，且对任意的n∈N*，满足an+2-an≤3n，an+4-an≥10×3n，则a2014=
91007-8
8
91007-8
8
．
分析：由an+2-an≤3n，可得a2n=（a2n-a2n-2）+（a2n-2-a2n-4）+…+（a4-a2）+a2≤32（n-1）+32（n-2）+…+32+
1
8
，同理由an+4-an≥10×3n，可得a4n+2=（a4n+2-a4n-2）+（a4n-2-a4n-6）+…+（a6-a2）≥10×34n-2+10×34n-6+…+10×32+
1
8
，利用“累加求和”和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：由an+2-an≤3n，可得a2n=（a2n-a2n-2）+（a2n-2-a2n-4）+…+（a4-a2）+a2≤32（n-1）+32（n-2）+…+32+
1
8
=
9(9n-1-1)
9-1
+
1
8
=
9n-8
8
．
∴a2014=a2×1007≤
91007-8
8
．①
由an+4-an≥10×3n，可得a4n+2=（a4n+2-a4n-2）+（a4n-2-a4n-6）+…+（a6-a2）≥10×34n-2+10×34n-6+…+10×32+
1
8
=10×
32[(34)n-1]
34-1
+
1
8
=
9(92n-1)
8
+
1
8
．
∴a2014=a4×503+2≥
91007-1
8
，②
由①②可得：a2014=
91007-8
8
．
故答案为
91007-8
8
．
点评：通过变形利用“夹逼法”找到a2014满足的条件及熟练掌握“累加求和”和等比数列的前n项和公式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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