Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的两实根，
∴
∵．
故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．
（2）由（1）得，即
∴
=．
（3）由（2）得
要使b_n＞λS_n，对n∈N*都成立，
即（*）
①当n为正奇数时，由（*）式得：
即
∵2n+1-1＞0，
∴对任意正奇数n都成立，
故为奇数）的最小值为1．
∴λ＜1．
②当n为正偶数时，由（*）式得：，
即
∵2n-1＞0，
∴对任意正偶数n都成立，
故为偶数）的最小值为．
∴．
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n
对n∈N*都成立，λ的取值范围为（﹣∞，1）．