Question

（本小题满分14分）

已知数列中，，，.

（Ⅰ）求证：是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）假设对于任意的正整数、，都有，则称该数列为“域收敛数列”. 试判断: 数列，是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）证明：因为，

所以，；故是等差数列.………………4分

由此可得，，…………6分

所以，.…………7分

（Ⅱ）由条件，可知当，；当时，，.

令，则

                           

所以，当时，；

同理可得，当时，；…………10分

即数列在时递增；时递减；即是数列的最大项.

然而因为的奇数项均为，故为数列的最小项；

而，，所以，

故是数列的最大项.………………12分

因此，对任意的正整数、，

所以数列，是一个“域收敛数列”.…………14分